Question

Što od navedenoga vrijedi za argumente $\varphi_1$ i $\varphi_2$ za svaka dva kompleksna broja $z_1 = r_1(\cos\varphi_1 + i\sin\varphi_1)$ i $z_2 = r_2(\cos\varphi_2 + i\sin\varphi_2)$ za koje vrijedi $z_2 = -z_1$?

Accepted Answer

C. Množenje kompleksnog broja s $-1$ geometrijski znači **zrcaljenje preko ishodišta** u Gaussovoj ravnini (ili rotaciju za $180° = \pi$).

Modul ostaje isti: $|{-z_1}| = |z_1|$, dakle $r_2 = r_1$.

Argument se **mijenja za $\pi$**:
$$\arg(-z_1) = \arg(z_1) + \pi \pmod{2\pi}$$

Drugim riječima, $\varphi_2 = \varphi_1 + \pi$ ili $\varphi_2 = \varphi_1 - \pi$ (ovisno o tome ostaje li argument u standardnom rasponu).

U oba slučaja:
$$|\varphi_1 - \varphi_2| = \pi$$

Točan odgovor: **C**.

Alternativna provjera identitetom: $-1 = \cos\pi + i\sin\pi$, pa
$$-z_1 = (\cos\pi + i\sin\pi) \cdot r_1(\cos\varphi_1 + i\sin\varphi_1) = r_1(\cos(\varphi_1 + \pi) + i\sin(\varphi_1 + \pi))$$
(množenje kompleksnih brojeva u trigonometrijskom obliku zbraja argumente).

Trigonometrijski oblik kompleksnog broja

Ključne formule

Primjer zadatka iz mature

Nauči i uvježbaj cijelu temu