Question

Duljina osnovnoga brida pravilne uspravne četverostrane prizme iznosi 10 cm, a visina te prizme iznosi 12 cm. Koliko iznosi mjera kuta između prostorne dijagonale i dijagonale baze te prizme?

Accepted Answer

$\approx 40°18'56''$. Pravilna uspravna četverostrana prizma ima **kvadrat** za bazu (stranica $a = 10$) i visinu $h = 12$ okomitu na bazu.

**Dijagonala baze** (kvadrata):
$$d = a\sqrt{2} = 10\sqrt{2} 	ext{ cm}$$

**Prostorna dijagonala** spaja dva nasuprotna vrha prizme. Prostorna dijagonala, dijagonala baze i visina prizme čine **pravokutni trokut**:
- vodoravna kateta: $d = 10\sqrt{2}$ (dijagonala baze)
- okomita kateta: $h = 12$ (visina)
- hipotenuza: prostorna dijagonala $D$

Kut $\varphi$ između prostorne dijagonale i dijagonale baze je kod podnožja prostorne dijagonale. Nasuprot tog kuta je visina $h$, a uz njega leži $d$:
$$\mathrm{tg}\,\varphi = \frac{h}{d} = \frac{12}{10\sqrt{2}} = \frac{6}{5\sqrt{2}} = \frac{6\sqrt{2}}{10} = \frac{3\sqrt{2}}{5} \approx 0{,}8485$$

$$\varphi = \mathrm{arctg}(0{,}8485) \approx 40{,}3154°$$

Pretvorba:
- $0{,}3154° \cdot 60 \approx 18{,}92'$, dakle $18'$
- $0{,}92' \cdot 60 \approx 55{,}4''$, zaokruženo $56''$

$$\varphi \approx 40°18'56''$$

Odgovor: $\varphi \approx 40°18'56''$.

Prizme

Ključne formule

Primjer zadatka iz mature

Nauči i uvježbaj cijelu temu